В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет ${\displaystyle R_1=36}$Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого ${\displaystyle R_2}$ (в Ом).
При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями ${\displaystyle R_1}$ и ${\displaystyle R_2}$ их общее сопротивление ${\displaystyle R}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

$2\cos x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=2{\cos }^{3}x.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\text{7π}}{2};-2\pi \right].$

а) Решите уравнение

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.

б) Найдите объём пирамиды $MABF,$ если $AB=\mathrm{12,}$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30°.$

Найдите точку максимума функции ${\displaystyle y=\ln \left(x-7\right)-2x-3}$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $\angle MNK=90°\text{},$ $\angle LMN=\angle KLM=60°\text{}.$ 

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA=3.$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(\left(3-x\right)\left(x^2+2\right)\right)\ge {\log }_5\left(x^2-7x+12\right)+{\log }_5\left(5-x\right)}$.

Пятиугольник ${\displaystyle ABCDE}$ вписан в окружность. Диагонали ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BE}$ пересекаются в точке ${\displaystyle M.}$ Известно, что ${\displaystyle BCDM}$ — параллелограмм.

а) Докажите, что ${\displaystyle BC=DE.}$ 

б) Найдите длину стороны ${\displaystyle AB,}$ если известно, что ${\displaystyle DE=\mathrm{4,}}$ ${\displaystyle AD=\mathrm{7,}}$ ${\displaystyle BE=8}$ и ${\displaystyle AB>BC.}$ 

а) Решите уравнение $2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+2\sin \left(\pi +x\right)=0.$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi ;\frac{13\pi }{2}\right].$

${\displaystyle y=9\ln \left(x+7\right)-9x+4}$

на отрезке ${\displaystyle \left[-\mathrm{6,5};0\right]}$.

Найдите наибольшее значение функции

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{2{\log }_3\left(9x\right)-13}{{\log }_3^{2}x-{\log }_3{x}^4}\le 1}$.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40% меди, второй ${\displaystyle —}$ 25% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 10 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Найдите точку минимума функции $y=2x^{\frac{3}{2}}-18x+21.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

Решите неравенство $\frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot 4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot 2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}\text{}-9\cdot 2^x+4}\le 2^{x+1}-\frac{1}{2^x\text{}-2}+\frac{3}{2^{x+1}\text{}-1}.$

Решите неравенство ${\log }_4\left(\left(x-5\right)\left(x^2-2x-15\right)\right)+1\ge \mathrm{0,5}{\log }_2{\left(x-5\right)}^2.$

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.

Найдите точку максимума функции $y=4+9x-x\sqrt{x}.$

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2$ ). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$

Найдите значение выражения ${\displaystyle {\left(4^{15}\right)}^5:4^{73}}$.