На средней линии трапеции ${\displaystyle ABCD}$ с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ выбрали произвольную точку ${\displaystyle K}$. Докажите, что сумма площадей треугольников ${\displaystyle BKC}$ и ${\displaystyle AKD}$ равна половине площади трапеции.

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события .

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события .

Решите систему уравнений ${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x^2+3y^2=\mathrm{11,}\\ 4x^2+6y^2=11x.\end{array}}$

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

${\displaystyle F=\rho gV}$,

где ${\displaystyle \rho =1000\frac{\text{кг}}{{\text{м}}^{\text{3}}}}$ — плотность воды, ${\displaystyle g=\mathrm{9,8}\frac{\text{м}}{{\text{с}}^{\text{2}}}}$ — ускорение свободного падения, а ${\displaystyle V}$ — объём тела в кубических метрах. Сила ${\displaystyle F}$ измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,09 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 140 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Через точку ${\displaystyle O}$ пересечения диагоналей параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$ проведена прямая, пересекающая стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ соответственно. Докажите, что отрезки ${\displaystyle BP}$ и ${\displaystyle DQ}$ равны.

В остроугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ проведены высоты ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$. Докажите, что углы ${\displaystyle B{B}_1{A}_1}$ и ${\displaystyle BA{A}_1}$ равны.

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 72 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 10 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Решите уравнение ${\displaystyle x^4={\left(3x-4\right)}^2}$.

Острый угол ромба равен ${\displaystyle 70°}$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

Найдите значение выражения ${\displaystyle 33a-23b+71}$, если ${\displaystyle \frac{3a-4b+8}{4a-3b+8}=9}$.

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8 секунд движения?

Решите уравнение

Решите уравнение

Точка ${\displaystyle H}$ является основанием высоты ${\displaystyle BH}$, проведённой из вершины прямого угла ${\displaystyle B}$ прямоугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$. Окружность
с диаметром ${\displaystyle BH}$ пересекает стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CB}$ в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно. Найдите ${\displaystyle PK}$, если ${\displaystyle BH=14}$.

Решите систему уравнений ${\displaystyle \{\begin{array}{l}4x^2+y=\mathrm{9,}\\ 8x^2-y=3.\end{array}}$