Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 90 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

$2{\sin }^2\text{}\left(\frac{\text{π}}{2}-x\right)+\sin 2x=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\text{π};\frac{9\text{π}}{2}\right]$.

а) Решите уравнение

$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 10 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 13 626 тыс. рублей. Найдите $r.$ 

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 12 млн рублей. Условия его возврата таковы:

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 8, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём , . Плоскость  перпендикулярна плоскости  и содержит точки  и .

а) Докажите, что плоскость  содержит точку .

б) Найдите площадь сечения пирамиды  плоскостью .

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана$–$Больцмана, согласно которому $P=\text{σ}S{T}^4$, где $P$ $—$ мощность излучения звезды (в Вт), $\text{σ}=\mathrm{5,7}\cdot {10}^{-8}\frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^2\cdot {\text{К}}^4}$ $—$ постоянная, $S$ $—$ площадь поверхности звезды (в ${\text{м}}^2$ ), а $T$ $—$ температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{256}\cdot {10}^{21}{\text{м}}^2$, а мощность её излучения равна $\mathrm{9,12}\cdot {10}^{26}\text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 10».

$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению
с концом предыдущего месяца;

$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$–$ к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: Чему равно r , если общая сумма платежей в 2027 году составит 4830 тыс. рублей?

Найдите значение выражения ${\displaystyle {\left({64}^9\right)}^3:{\left({16}^5\right)}^8}$.

Решите неравенство .

На рисунке изображены графики функций ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=ax+b,}$ пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Найдите абсциссу точки ${\displaystyle B.}$ 

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+2{\sin }^{2}x=\sin x+2}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[2\pi ;\frac{\text{7π}}{2}\right]}$.

а) Решите уравнение

$—$ каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ в июле 2030 года долг должен составить 500 тыс. рублей;

$—$ в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы: Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

${\displaystyle y=12x-\ln \left(12x\right)+4}$

на отрезке ${\displaystyle \left[\frac{1}{24};\frac{5}{24}\right]}$.

Найдите наименьшее значение функции

Решите неравенство $\frac{2\cdot 8^{x-1}}{2\cdot 8^{x-1}-1}\ge \frac{3}{8^x-1}+\frac{8}{{64}^x-5\cdot 8^x+4}.$

Решите неравенство $\frac{13}{3^x-81}\le \frac{1}{3^x-9}$.

Водолазный колокол, содержащий ${\displaystyle \text{υ}=6}$ моль воздуха объёмом ${\displaystyle V_1=56\text{л}}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${\displaystyle V_2}$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле ${\displaystyle A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}}$, где ${\displaystyle \alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}}$ — постоянная, ${\displaystyle T=300\text{К}}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${\displaystyle V_2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 31 320 Дж. Ответ дайте в литрах.

$2\cos x-2\sqrt{3}\cos \left(-x\right)-4{\sin }^{2}x=\sqrt{3}-4.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right].$

а) Решите уравнение

${\displaystyle {27}^x-4\cdot 3^{x+2}+3^{5-x}=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[{\log }_{7}4;{\log }_{7}16\right]}$.

а) Решите уравнение

Окружность с центром в точке ${\displaystyle O}$ высекает на всех сторонах трапеции ${\displaystyle ABCD}$ равные хорды.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую
сторону ${\displaystyle AB}$ в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$ так, что ${\displaystyle AK=15}$, ${\displaystyle KL=6}$, ${\displaystyle LB=5}$.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.