В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите объём цилиндра, если ${\displaystyle AB=7}$, ${\displaystyle B{B}_1=24}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=10}$.

Найдите значение выражения ${\displaystyle \sqrt{2}\sin \frac{\text{7π}}{8}\cdot \cos \frac{\text{7π}}{8}}$.

${\displaystyle —}$ каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?

Найдите точку максимума функции .

Решите неравенство $\frac{8^{x+1}-40}{2\cdot {64}^x-32}\le 1.$

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292 820 рублей?

${16}^{\sin x}\text{}-6\cdot 4^{\sin x}\text{}+8=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\text{π};-\frac{\text{7π}}{2}\right].$

а) Решите уравнение

Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю.

$—$ каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;

$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: Известно, что платёж в 2029 году составит 833,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 8».

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ 
с углом $60°$ при вершине $A.$ На рёбрах $A_1{B}_1,$ $B_1{C}_1$ и $BC$ отмечены
точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.

а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A_1{B}_1.$

б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1{C}_1$ в отношении $B_{1}K:K{C}_1=2:3.$

В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $30°\text{},$ отрезки $AH$ и $AM$ $—$ высота
и медиана соответственно, причём точка $H$ лежит на отрезке $BM.$ 
Отрезок $MQ$ $—$ высота треугольника $AMC,$ а прямые $AH$ и $MQ$ пересекаются в точке $F\text{}.$ Известно, что луч $AM$ $—$ биссектриса угла $CAH\text{}.$

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CMF\text{},$ если $AB=8.$

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 468 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 47 часов. Ответ дайте в км/ч.

В коробке 6 синих, 9 красных и 10 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

На рисунке изображены графики функций ${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=kx,}$ пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Найдите абсциссу точки ${\displaystyle B.}$ 

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{3\cdot {27}^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+\mathrm{4,5}}\ge 0.}$ 

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_{8}x}{{\log }_8\left(\frac{x}{64}\right)}\ge \frac{2}{{\log }_{8}x}+\frac{3}{{\log }_8^{2}x-{\log }_8{x}^2}}$.