Найдите точку максимума функции $y=x^3+14x^2+49x+8.$

Найдите точку минимума функции .

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7?

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f=30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана $—$ в пределах от 160 см
до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$.

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Автомобиль, движущийся со скоростью ${\displaystyle v_0=24\text{м/с}}$, начал торможение
с постоянным ускорением ${\displaystyle a=3{\text{м/с}}^2}$. За ${\displaystyle t}$ секунд после начала торможения он прошёл путь ${\displaystyle S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал
90 метров. Ответ дайте в секундах.

$\cos 2x+\sqrt{3}\sin \left(\frac{\text{π}}{2}+x\right)+1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\text{π};-\frac{3\text{π}}{2}\right]$.

а) Решите уравнение

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точки ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle B{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а отрезок ${\displaystyle A{C}_1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ${\displaystyle AB{C}_1}$ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если ${\displaystyle AB=20}$, ${\displaystyle B{B}_1=15}$, ${\displaystyle B_1{C}_1=21}$.

Заказ на изготовление 198 деталей первый рабочий выполняет на 7 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 7 деталей больше второго?

Моторная лодка прошла против течения реки 168 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 13 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 48 250 рублей больше суммы, взятой в кредит?

В равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в три раза больше основания ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что высота ${\displaystyle CH}$ трапеции разбивает основание ${\displaystyle AD}$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины ${\displaystyle C}$ до середины диагонали ${\displaystyle BD}$, если ${\displaystyle AD=15}$ и ${\displaystyle AC=2\sqrt{61}}$.

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания  равна 5, а боковое ребро  равно 9. Точка  лежит на ребре , ,
а точка  лежит на ребре . Известно, что .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите площадь треугольника .

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ известно, что $AB=2.$ Плоскость $\text{α}$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $C{C}_1.$

а) Докажите, что сечение призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\text{α}$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\text{α}$ равна $6.$

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 48 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно r , если общая сумма платежей в 2030 году составит 3195 тыс. рублей?

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_2\left(4x^2-1\right)-{\log }_{2}x\le {\log }_2\left(5x+\frac{9}{x}-11\right)}$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BM$ и $CK$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=\mathrm{8,}$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды равен $45°.$

На рисунке изображён график функции вида ${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c.}$ Найдите значение ${\displaystyle f\left(-2\right).}$ 

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ угол ${\displaystyle BAD}$ прямой. Окружность, построенная на большем основании ${\displaystyle AD}$ как на диаметре, пересекает меньшее основание ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle M}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle BAM=\angle CAD}$.

б) Диагонали трапеции ${\displaystyle ABCD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle O}$. Найдите площадь треугольника ${\displaystyle AOB}$, если ${\displaystyle AB=\sqrt{10}}$, а ${\displaystyle BC=2BM}$.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением ${\displaystyle a=2500\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.}$ Скорость ${\displaystyle v}$ (в км/ч) вычисляется по формуле ${\displaystyle v=\sqrt{2la},}$ где ${\displaystyle l}$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 50 км/ч.