Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 27 км/ч, проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 32 часа после отправления из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая,
что $AM=MC.$

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит
на диагонали $AC.$

б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB=\mathrm{5,}$ $BC=\mathrm{10,}$ $\angle BAD=60°\text{}.$

Найдите точку максимума функции $y=x^3+30x^2+225x+23.$

$—$ каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей. Условия его возврата таковы: Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон ${\displaystyle p{V}^k=\mathrm{6,4}\cdot {10}^6\text{Па}\cdot {\text{м}}^5\text{},}$ где ${\displaystyle p}$ — давление в газе в паскалях, ${\displaystyle V}$ — объём
газа (в м³), ${\displaystyle k=\frac{5}{3}}$. Найдите, какой объём V (в м³) будет занимать газ
при давлении ${\displaystyle p}$, равном ${\displaystyle 2\cdot {10}^5\text{Па}\text{.}}$ 

${\displaystyle y=9x-\ln {\left(x+5\right)}^9}$

на отрезке ${\displaystyle \left[-\mathrm{4,5};0\right]}$.

Найдите наименьшее значение функции

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 160 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

а) Решите уравнение $2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=0.$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right].$

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят ${\displaystyle t^2}$ тыс. рублей в конце года ${\displaystyle t}$ ( ${\displaystyle t=1;2;\dots }$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%.
В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?

Найдите точку минимума функции $y=x^3-14x^2+49x+3.$

Найдите точку минимума функции $y=3x-3\cdot \ln \left(x-7\right)-8.$

На рисунке изображены графики функций ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=ax+b,}$ пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Найдите абсциссу точки ${\displaystyle B.}$ 

Найдите значение выражения .

В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания  равна 2, а боковое ребро  равно 8. Точка  — середина ребра . Плоскость  перпендикулярна плоскости  и содержит точки  и . Прямая  пересекает плоскость  в точке .

а) Докажите, что .

б) Найдите объём пирамиды .

а) Решите уравнение $\sin 2x+2\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+1=0.$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{15\pi }{2};-6\pi \right].$

${\displaystyle 8^x-9\cdot 2^{x+1}+2^{5-x}=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[{\log }_{5}2;{\log }_{5}20\right]}$.

а) Решите уравнение

Окружность с центром в точке ${\displaystyle O}$ касается сторон угла с вершиной ${\displaystyle N}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Отрезок ${\displaystyle BC}$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая ${\displaystyle AC}$ параллельна биссектрисе угла ${\displaystyle ANB.}$ 

б) Найдите длину отрезка ${\displaystyle NO,}$ если известно, что ${\displaystyle AC=10}$ и ${\displaystyle AB=24.}$ 

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ все рёбра равны 4. Точка K $—$ середина ребра $A_1{B}_1.$

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $AKC.$

${\displaystyle 2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[-\frac{\text{5π}}{2};-\pi \right]}$.

а) Решите уравнение

Найдите точку максимума функции $y=x^3-108x+23.$