Решите неравенство .

Найдите точку максимума функции $y=15+24x-x^{\frac{3}{2}}.$

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{2^{3x}-2\cdot 4^{x+1}+5\cdot 2^{x+2}-16}{x-1}\ge 0.}$ 

$\sin 2x+\sqrt{2}\cos \left(x+\pi \right)=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right].$

а) Решите уравнение

Решите неравенство ${\displaystyle 3^{{\log }_3\left(4-x^2\right)}+x^4-10\ge 0.}$ 

На рисунке изображены графики функций видов $f\left(x\right)=\frac{k}{x}$ и $g\left(x\right)=ax+b$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=45°}$, ${\displaystyle AB=2\sqrt{3}}$, ${\displaystyle C{C}_1=2\sqrt{6}}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 60°}$.

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle B}$ до прямой ${\displaystyle A{C}_1}$.

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписан в окружность радиуса ${\displaystyle R=8}$. Известно,
что ${\displaystyle AB=BC=CD=12}$.

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ параллельны.

б) Найдите ${\displaystyle AD}$.

Решите неравенство $\frac{4^x\text{}-3\cdot 2^{x+1}+4}{2^x\text{}-5}+\frac{3\cdot 2^{x+1}-46}{2^x\text{}-8}\le 2^x+5.$

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте $h$ 
(в километрах) над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{2Rh},$ где $R=6400\text{км}$ $—$ радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 48 километров? Ответ дайте в километрах.

Найдите значение выражения ${\displaystyle \frac{{\left(3\sqrt{8}\right)}^2}{6}}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(\frac{2}{x}+2\right)-{\log }_5\left(x+3\right)\le {\log }_5\left(\frac{x+6}{x^2}\right)}$.

Решите неравенство $\frac{{\log }_2{x}^2-{\log }_3{x}^2}{{\log }_6^2\left(2x^2-10x+\mathrm{12,5}\right)+1}\ge 0.$

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 20 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 47 712 тыс. рублей. Найдите $S.$

Различные точки $A,$ $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса
с вершиной $S$ так, что отрезок $AB$ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60°\text{}.$

а) Докажите, что $\cos \angle ASC+\cos \angle BSC=\mathrm{1,5.}$

б) Найдите объём тетраэдра $SABC,$ если $SC=\mathrm{1,}$ $\cos \angle ASC=\frac{2}{3}.$

В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $AH,$ $BN$ и $CK$ $—$ высоты. Известно, что $AK=\mathrm{1,}$ $BH=\mathrm{2,}$ а $\angle KNH=60°.$ 

а) Докажите, что $\angle ABC=60°.$

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ 

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей
на ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ месяц. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на ${\displaystyle r}$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по ${\displaystyle n}$ -й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ 15-го числа ${\displaystyle n}$ -го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

${\displaystyle —}$ к 15-му числу ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите ${\displaystyle r}$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Найдите точку максимума функции $y=\mathrm{3,5}{x}^2-29x+30\cdot \ln x+67.$

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$–$ к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 27 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: Чему равна общая сумма платежей в 2029 году?