Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ в отношении ${\displaystyle AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4}$, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, ${\displaystyle PQ=\mathrm{16,}QW=12}$, угол ${\displaystyle PWQ}$ ${\displaystyle —}$ острый.

а) Докажите, что треугольник ${\displaystyle PQW}$ ${\displaystyle —}$ прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$.

а) Решите уравнение ${\displaystyle \frac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0}$.

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[-\frac{13\text{π}}{2}\text{;}-5\text{π}\right]}$.

На рисунке изображён график $y=f\text{'}\left(x\right)$ $—$ производной функции $f\left(x\right).$ 
На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8,$ $x_9.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f\left(x\right)$?

Найдите значение выражения $8\sqrt{3}{\cos }^2\frac{\text{π}}{12}-4\sqrt{3}.$ 

Даны векторы $\overrightarrow{a}\left(7;11\right)$ и $\overrightarrow{b}\left(28;-17\right).$ Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}.$

Найдите корень уравнения $5^{x-2}=125.$

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 60 спортсменов, среди них 19 спортсменов из Голландии и 24 спортсмена из Дании . Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым будет выступать спортсмен из Дании .

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_2\left(8x\right)\cdot {\log }_3\left(27x\right)}{x^2-\left|x\right|}\le 0}$.

б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ${\displaystyle \angle }$ А= ${\displaystyle 45°}$, В₁С₁= ${\displaystyle 6}$ и площадь треугольника АВ₁С₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С 1 и В 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ C подобен треугольнику АВ 1 С 1 .

На рисунке изображён график $y=f\text{'}\left(x\right)$ $—$ производной функции $f\left(x\right),$ определённой на интервале $\left(-5;14\right).$ Найдите количество точек минимума функции $f\left(x\right),$ принадлежащих отрезку $\left[-4;9\right].$

Даны векторы $\overrightarrow{a}\left(3;4\right)$ и $\overrightarrow{b}\left(4;-3\right).$ Найдите длину вектора $4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

В основании прямой треугольной призмы ${\displaystyle ABC{A}_1{B}_1{C}_1}$ лежит равнобедренный ( ${\displaystyle AB=BC}$ ) треугольник ${\displaystyle ABC}$. Точка ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle A_1{B}_1}$, а точка ${\displaystyle M}$ делит ребро ${\displaystyle AC}$ в отношении ${\displaystyle AM:MC=1:3}$.

а) Докажите, что  ${\displaystyle KM\perp AC}$.

б) Найдите угол между прямой ${\displaystyle KM}$ и плоскостью ${\displaystyle AB{B}_1}$, если ${\displaystyle AB=6}$, ${\displaystyle AC=8}$ и ${\displaystyle A{A}_1=3}$.

Найдите корень уравнения $3^{x-11}=\frac{1}{27}.$ 

а) Решите уравнение ${\displaystyle \frac{{\log }_2^2(\sin x)+{\log }_2(\sin x)}{2\cos x-\sqrt{3}}=0}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{\text{π}}{2};2\text{π}\right]}$.

Найдите корень уравнения $3^{x+2}=81\text{}.$

На рисунке изображён график ${\displaystyle y=f\text{'}\left(x\right)}$ ${\displaystyle —}$ производной функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$, определённой на интервале ${\displaystyle \left(-15;5\right)}$. Найдите количество точек максимума функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$, принадлежащих отрезку ${\displaystyle \left[-11;4\right]}$.