На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр). а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107? б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289? в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше ${\displaystyle 1395=3+6+\dots +90}$, если все числа на доске кратны 3?

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу). б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067? в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$\sqrt{7x-4}\cdot \ln \left(x^2-8x+17-a^2\right)=0$

имеет на отрезке $\left[0;4\right]$ ровно один корень.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$\left(x-2\right)a^2+\left(x^3-x^2-4\right)a+x^4-4x^2=0$

имеет ровно два различных корня.

Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей? б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей? в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(xy-2x+12\right)\cdot \sqrt{y-2x+12}=\mathrm{0,}\\ y=3x+a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система неравенств

${\displaystyle \{\begin{array}{l}ax\ge \mathrm{2,}\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\le 2a+11\end{array}}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке ${\displaystyle \left[3;4\right]}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система неравенств

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x\le 2a+\mathrm{6,}\\ 6x\ge x^2+a^2,\\ x+a>0\end{array}}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке ${\displaystyle \left[1;2\right]}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$a^2-ax-2x^2-6a+3x+9\left|x\right|=0$

имеет четыре различных корня.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

${\left(3x+\left|x-a\right|+\left|2x+a+1\right|\right)}^2-a\left(3x+\left|x-a\right|+\left|2x+a+1\right|\right)+a^2-16=0$

имеет ровно один корень.

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными. а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел? б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел? в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала ${\displaystyle m}$ фотографий, а Наташа ${\displaystyle —}$ 
${\displaystyle n}$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней? б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней? в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \ln \left(4x-1\right)\cdot \sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;3\right]}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a,}$ при каждом из которых уравнение

${\displaystyle x^4-x^3-3x^2-x+a\left(x+1\right)x=3x^3-3x^2-9x-3+3a\left(x+1\right)}$ 

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.

в) Найдите наибольшее возможное значение $k.$

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20? б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2+2ax+\left(a+2\right)y+1=\mathrm{0,}\\ xy+1=x+y\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли. а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна 32. б) Может ли сумма полученных чисел быть равна 29? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?

а) Может ли ${\displaystyle n}$ быть больше 6?

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?