Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2+4x\right)\cdot \sqrt{2x+y+6}=\mathrm{0,}\\ y=x+a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$x_{\text{}}^4+{\left(a-3\right)}^2=\left|x-a+3\right|+\left|x+a-3\right|$

либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11? в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \left(5x-2\right)\cdot \ln \left(x+a\right)=\left(5x-2\right)\cdot \ln \left(2x-a\right)}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;1\right]}$.

В школах ${\displaystyle №}$1 и ${\displaystyle №}$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы ${\displaystyle №}$1 в школу ${\displaystyle №}$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 уменьшился на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 равняться 7?

в) Средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 уменьшился на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе ${\displaystyle №}$2.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$x^2+a^2+x-7a=\left|7x+a\right|$

имеет больше двух различных корней.

Из пары натуральных чисел $\left(a;b\right)$ за один ход можно получить пару $\left(a+2;b-1\right)$ или $\left(a-1;b+2\right)$ при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара $\left(5;7\right)$.

а) Можно ли за 50 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 100? б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 400? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 100?

Для чисел $A$ и $B,$ состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют
$S$ $—$ сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A=123$ и $B=579$ получается сумма $S=1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9=46$.

а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S=200$?

б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S=320$?

в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой $S$ 
для некоторых пятизначных чисел $A$ и $B$?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$(x^2-x)a^2-(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$(x+1)a^2+x{(x+1)}^{2}a+x^4+2x^3-2x-1=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$a^2+ax-2x^2-6a-3x+9\left|x\right|=0$

имеет меньше четырёх различных корней.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

${\left(\left|x-a-1\right|+\left|x-a+1\right|\right)}^2+a\left(\left|x-a-1\right|+\left|x-a+1\right|\right)+a^2-16=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-\left(4a+2\right)x+2a}$

на отрезке $\left[0;1\right]$ имеет ровно один корень.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-60.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки? б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек? в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число  и его квадрат  Найдите наименьшее возможное значение

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}4x-y+a=\mathrm{0,}\\ 2\left|y\right|-x^2+4x=0\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(xy-2x+12\right)\cdot \sqrt{y-2x+12}=\mathrm{0,}\\ y=ax-10\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3.

а) Может ли $N$ быть равным 360?

б) Может ли $N$ быть равным 149?

в) Найдите наибольшее значение $N.$

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на 3 (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-45.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек? б) Может ли на столе лежать ровно 100 красных карточек? в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?