Найдите все значения ${\displaystyle a,}$ при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \left(x^2-x\right)a^2+\left(x^4-x^3-x+1\right)a-x^3+x^2=0}$ 

имеет ровно два различных корня.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-72.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй $—$ 102, в третьей $—$ 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй $—$ 102, в третьей $—$ 103, а в четвёртой $—$ 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней? в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}x+y=a,\\ \left|y\right|=\left|x^2-2x\right|\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система неравенств

${\displaystyle \{\begin{array}{l}2a\le x,\\ 6x>x^2+a^2,\\ x+a\le 6\end{array}}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке ${\displaystyle \left[4;5\right]}$.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$a{\left(x+\frac{4}{x}\right)}^2+2\left(x+\frac{4}{x}\right)-25a+10=0$

имеет ровно два различных корня.

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 25 % от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 20 % от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 60 % от общей массы всех контейнеров? в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система

$\{\begin{array}{l}{2}^{\left|x\right|+3}+7\cdot \left|x\right|+1=8y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1\end{array}$

имеет единственное решение.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2-\left(2a-5\right)x+2ay+1=\mathrm{0,}\\ x^2+y=xy+x\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$x^2+a^2-x-7a=\left|7x-a\right|$

имеет ровно два различных корня.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-36.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка? б) Может ли на столе лежать ровно 50 синих карточек? в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

${\left(4x+\left|x-a\right|-\left|3x+1\right|\right)}^2-\left(a+1\right)\left(4x+\left|x-a\right|-\left|3x+1\right|\right)+1=0$

имеет ровно два различных корня.

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21 %. а) Может ли в этом классе быть 5 девочек? б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка? в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\left(x+ay-5\right)\left(x+ay-5a\right)=\mathrm{0,}\\ x^2+y^2=16\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна $S.$

а) Может ли $S$ быть равной $16\frac{5}{6}$?

б) Может ли $S$ быть равной $569\frac{29}{126}$?

в) Найдите наибольшее целое значение $S,$ если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

${\displaystyle \frac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0}$

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x^2-5x-y+3\right)\cdot \sqrt{x-y+3}=\mathrm{0,}\\ y=3x+a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

На столе лежит ${\displaystyle N}$ монет по 2 рубля и ${\displaystyle (1200-N)}$ монет по 5 рублей (${\displaystyle N}$ — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.

а) Может ли ${\displaystyle N}$ равняться 400?

б) Может ли ${\displaystyle N}$ равняться 600?

в) Сколько различных значений может принимать число ${\displaystyle N?}$ 

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система неравенств

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a\left(x-1\right)\ge \mathrm{4,}\\ 2\sqrt{x-2}\ge a,\\ 3x<a+14\end{array}}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке ${\displaystyle \left[4;5\right]}$.