В правильной треугольной пирамиде ${\displaystyle SABC}$ с основанием ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle K}$ — середины рёбер ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle SC}$ соответственно. На продолжении ребра ${\displaystyle SB}$ за точку ${\displaystyle S}$ отмечена точка ${\displaystyle R.}$ Прямые ${\displaystyle RM}$ и ${\displaystyle RK}$ пересекают рёбра ${\displaystyle AS}$ и ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle L}$ соответственно, причём ${\displaystyle BL=3LC.}$ 

а) Докажите, что отрезки ${\displaystyle MK}$ и ${\displaystyle NL}$ пересекаются.

б) Найдите отношение ${\displaystyle AN:NS.}$ 

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 108 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle A}$ равен ${\displaystyle 120°}$. Прямые, содержащие высоты ${\displaystyle BM}$ и ${\displaystyle CN}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекаются в точке ${\displaystyle H}$. Точка ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AH=AO}$.

б) Найдите площадь треугольника ${\displaystyle AHO}$, если ${\displaystyle BC=3}$, ${\displaystyle \angle ABC=15°}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ $—$ середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC.$

б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=\mathrm{24,}$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30°.$

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию , касается её боковой стороны  в точке . Луч  вторично пересекает окружность в точке , а прямую  — в точке , причём , .

а) Докажите, что .

б) Найдите основания трапеции.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_4\left(64x\right)}{{\log }_{4}x-3}+\frac{{\log }_{4}x-3}{{\log }_4\left(64x\right)}\ge \frac{{\log }_4{x}^4+16}{{\log }_4^{2}x-9}}$.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x{y}^2\text{}-3xy-3y+9\right)\sqrt{3-x}=\mathrm{0,}\\ y=ax\end{array}$

имеет ровно три различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \sqrt{2-3x}\cdot \ln \left(16x^2-a^2\right)=\sqrt{2-3x}\cdot \ln \left(4x+a\right)}$

имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}x+ay+a-2=\mathrm{0,}\\ x\left|y\right|+x-2=0\end{array}$

имеет единственное решение.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^4+y^2=a^2,\\ x^2+y=\left|2a-4\right|\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314? в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

В школах ${\displaystyle №}$1 и ${\displaystyle №}$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы ${\displaystyle №}$1 в школу ${\displaystyle №}$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 вырасти в 2 раза?

б) Средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 вырос на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 равняться 1?

в) Средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 вырос на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе ${\displaystyle №}$2.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454. а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6? б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6? в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?

Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй $—$ 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй $—$ 89,
а в третьей $—$ 15?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень? в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}y=\left|x-a\right|-\mathrm{4,}\\ 4\left|y\right|+x^2+8x=0\end{array}$

имеет ровно четыре различных решения.

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа $n,$ большего 1. Найдите наименьшее возможное
значение $n.$

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом. а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли $N$ быть равным 200?

б) Может ли $N$ быть равным 109?

в) Найдите наибольшее значение $N.$

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4\left(a+1\right)x-2ay+5a^2+8a+3=\mathrm{0,}\\ y^2=x^2\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \sqrt{4x-1}\cdot \ln \left(x^2-2x+2-a^2\right)=0}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;1\right]}$.