В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; — в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1250 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 году?

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=6$ моль воздуха при давлении
$p_1=\mathrm{2,5}$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ 
(в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\text{α}=\mathrm{5,75}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ $—$ середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC.$

б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=\mathrm{12,}$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $60°.$

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_7\left(2x^2+12\right)-{\log }_7\left(x^2-x+12\right)\ge {\log }_7\left(2-\frac{1}{x}\right)}$.

${\displaystyle —}$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?

${\displaystyle 27\cdot {81}^{\sin x}\text{}-12\cdot 9^{\sin x}\text{}+1=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{\text{3π}}{2};3\text{π}\right]}$.

а) Решите уравнение

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2$ ). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 км, развить скорость 70 км/ч. Ответ дайте в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$

На сторонах ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ отмечены точки ${\displaystyle C_1}$, ${\displaystyle A_1}$ и ${\displaystyle B_1}$ соответственно, причём ${\displaystyle A{C}_1:C_{1}B=21:10}$, ${\displaystyle B{A}_1:A_{1}C=2:3}$, ${\displaystyle A{B}_1:B_{1}C=2:5}$. Отрезки ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle C{C}_1}$ пересекаются в точке ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что четырёхугольник ${\displaystyle AD{A}_1{B}_1}$ ${\displaystyle —}$ параллелограмм.

б) Найдите ${\displaystyle CD}$, если отрезки ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ перпендикулярны, ${\displaystyle AC=63}$, ${\displaystyle BC=25}$.

$—$ каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными;

$—$ к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1254,4 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?

Найдите точку минимума функции $y=x^3-20x^2+100x+23.$

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Решите неравенство ${\log }_8\left(x^3-3x^2+3x-1\right)\ge {\log }_2\left(x^2-1\right)-5.$

Автомобиль, движущийся со скоростью ${\displaystyle v_0=23\text{м/с}\text{,}}$ начал торможение с постоянным ускорением ${\displaystyle a=2{\text{м/с}}^2\text{}.}$ За ${\displaystyle t}$ секунд после начала торможения он прошёл путь ${\displaystyle S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ дайте в секундах.

На рисунке изображены графики функций видов $f\left(x\right)=\frac{k}{x}$ и $g\left(x\right)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,91. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям $BC$ и $AD.$

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=CO$ и данная прямая делит сторону $AB$ в отношении $AM:MB=1:2.$

а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.

На рисунке изображён график функции вида ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}.}$ Найдите значение ${\displaystyle f\left(30\right).}$ 

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 825 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 825 тыс. рублей; — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Найдите значение выражения ${\displaystyle \frac{3^{\mathrm{9,2}}}{9^{\mathrm{2,6}}}}$.