а) Решите уравнение ${\cos }^{2}x+{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}.$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi ;6\pi \right].$

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=32000\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите,
сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 160 км/ч.

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N\text{},$ причём $AM:MC=1:\mathrm{2,}$ $BN:ND=1:3.$

а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4.$

б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}.$

На рисунке изображены графики функций видов $f\left(x\right)=a\sqrt{x}$ и $g\left(x\right)=kx,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит 311 040 рублей?

На ребре ${\displaystyle SD}$ правильной четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ 
с основанием ${\displaystyle ABCD}$ отмечена точка ${\displaystyle M}$, причём ${\displaystyle SM:MD=2:1}$.
Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle —}$ середины рёбер ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ${\displaystyle MPQ}$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость ${\displaystyle MPQ}$ разбивает пирамиду.

Два велосипедиста одновременно отправились в 220-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на ${\displaystyle r}$% по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите ${\displaystyle r}$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а во второй год ${\displaystyle —}$ 150 000 рублей.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:

Водолазный колокол, содержащий  моль воздуха при давлении
$p_1=11$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 26 100 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.

${\displaystyle y=\ln \left(8x\right)-8x+7}$

на отрезке ${\displaystyle \left[\frac{1}{16};\frac{5}{16}\right]}$.

Найдите наибольшее значение функции

Найдите точку максимума функции $y=x^3+10x^2+25x+16.$

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=\frac{k}{x}$. Найдите
значение $f\left(10\right)$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ из вершины $B$ проведены высоты $BP$ и $BQ,$ причём точка $P$ лежит на стороне $AD,$ а точка $Q$ $—$ на стороне $CD.$ На стороне $AD$ отмечена точка $M.$ Известно, что $AM=BP,$ $AB=BQ.$

а) Докажите, что $BM=PQ.$

б) Найдите площадь треугольника $APQ,$ если $AM=BP=\mathrm{8,}$ $AB=BQ=10.$

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены
высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$ 

а) Докажите, что $TH=ME.$

б) Найдите длину отрезка $EK,$ если $AB=5$ и $AC=6.$

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

$\sin 2x+\sqrt{2}\sin \left(x+\pi \right)=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right].$

а) Решите уравнение

$—$ 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца ( $r$$—$ целое число);

$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$—$ 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;

$—$ к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r,$ если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle y=10\sin x-\frac{42x}{\text{π}}-12}$

на отрезке ${\displaystyle \left[-\frac{5\text{π}}{6};0\right]}$.

Найдите наибольшее значение функции

Найдите точку минимума функции .

Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Таня — за 36 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?