Точка $M$ $—$ середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной
пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD.$ Точка $N$ лежит на ребре $SB,$ $SN:NB=1:2.$

а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD.$

б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $CMN,$ если все рёбра пирамиды равны 6.

На рёбрах ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BC}$ треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle AM:MB=CN:NB=1:2}$. Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle —}$ середины рёбер ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ соответственно.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость ${\displaystyle PQM}$ разбивает пирамиду.

Найдите точку максимума функции $y=x^2-33x+136\cdot \ln x+74.$

Найдите точку максимума функции $y=x^3+27x^2+11.$

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно ${\displaystyle t^2}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят ${\displaystyle t}$ единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей. Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю.

Два велосипедиста одновременно отправились в 190-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, прибывшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят ${\displaystyle t^2}$ тыс. рублей в конце года ${\displaystyle t}$ ( ${\displaystyle t=1;2;\dots }$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25%.
В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону ${\displaystyle h\left(t\right)=\mathrm{1,4}+9t-5t^2}$, где ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle —}$ высота в метрах, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться
на высоте не менее 3 метров?

Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй $—$ 25 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_{1}N$ и $CM$ перпендикулярны.

б) Плоскость $\text{α}$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM.$ Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\text{α}\text{,}$ если $B_{1}N=6.$

Найдите значение выражения ${\displaystyle 4^{\frac{1}{5}}\cdot {16}^{\frac{9}{10}}}$.

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=kx+b$. Найдите
значение $f\left(4\right)$.

Найдите значение выражения ${\displaystyle {\left(2^{16}\right)}^5:2^{74}}$.

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)={\log }_{a}x$. Найдите
значение $f\left(16\right)$.

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на ${\displaystyle r}$ % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите ${\displaystyle r}$.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 77 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2$ ). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 км, развить скорость 80 км/ч. Ответ дайте в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$

В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 6. На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM=AK=4.$

а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $5:4.$

б) Найдите косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $CMK.$

Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.