На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=kx+b.$ Найдите
значение $f\left(5\right).$

В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ $—$ середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K.$

а) Докажите, что $\angle BKM=45°\text{}.$

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK,$ если сторона $AB=2\sqrt{10}.$

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,2. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит .

Решите неравенство ${\displaystyle 1+\frac{10}{{\log }_{2}x-5}+\frac{16}{{\log }_2^{2}x-{\log }_2\left(32x^{10}\right)+30}\ge 0}$.

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ 
в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что $\angle AEM=\angle CMK\text{}.$

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK\text{},$ если $AM:MC=1:4.$

Решите неравенство $3^x+\frac{243}{3^x-84}\le 0$.

а) Решите уравнение $2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)-2\sqrt{3}\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=0.$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi ;-\frac{9\pi }{2}\right].$

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH.$

а) Докажите, что $\angle OAC=45°.$

б) Найдите длину отрезка $BC,$ если $BO=1$ и $AC=6.$

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит параллелограмм $ABCD.$ На рёбрах $A_1{B}_1,$ $B_1{C}_1$ и $BC$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1}K:K{C}_1=1:2.$ Четырёхугольник $AMKN$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.

а) Докажите, что точка $N$ $—$ середина ребра $BC.$

б) Найдите площадь трапеции $AMKN,$ если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

${\displaystyle 9\cdot {81}^{\cos x}\text{}-28\cdot 9^{\cos x}\text{}+3=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{5\text{π}}{2};4\text{π}\right]}$.

а) Решите уравнение

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $A{A}_1,$ $B{B}_1$ и $C{C}_1$ пересекаются
в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $B{B}_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $A{A}_1$ в точке $K.$

а) Докажите, что $AB\cdot KH=BC\cdot C_{1}H.$

б) Найдите отношение площадей треугольников $C_{1}HK$ и $ABC,$ если $AB=\mathrm{6,}$ $BC=\mathrm{4,}$ $AC=5.$

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=\frac{k}{x}$. Найдите
значение $f\left(10\right)$.

$2-2\cos \left(\pi -2x\right)+\sqrt{8}\cos x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\cos x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right].$

а) Решите уравнение

Две окружности касаются внутренним образом в точке ${\displaystyle A,}$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда ${\displaystyle BC}$ большей окружности касается меньшей в точке ${\displaystyle P.}$ Хорды ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ пересекают меньшую окружность
в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle M}$ соответственно.

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle KM}$ и ${\displaystyle BC}$ параллельны.

б) Пусть ${\displaystyle L}$ — точка пересечения отрезков ${\displaystyle KM}$ и ${\displaystyle AP.}$ Найдите длину отрезка ${\displaystyle AL,}$ если радиус большей окружности равен 34, а ${\displaystyle BC=32.}$ 

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке

Решите неравенство $3^{{\log }_3\left(25-5^x\right)}+{25}^x-45\ge 0.$

Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

$y=3\cos x-5x+5$

на отрезке $\left[-\frac{3\text{π}}{2};0\right]$.

Найдите наименьшее значение функции

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3^2\left(25-x^2\right)-3{\log }_3\left(25-x^2\right)+2\ge 0}$.

Найдите точку минимума функции $y=2x^{\frac{3}{2}}-15x+21.$