$—$ каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1260 тыс. рублей;

$—$ выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

$—$ к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1260 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: Найдите общую сумму платежей за пять лет.

Найдите точку максимума функции $y=9\cdot \ln \left(x-4\right)-9x-7.$

Игральную кость бросили два раза. Известно, что пять очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 9».

В правильной треугольной призме ${\displaystyle ABC{A}_1{B}_1{C}_1}$ все рёбра равны, на ребре ${\displaystyle A{A}_1}$ отмечена точка ${\displaystyle M.}$ Известно, что ${\displaystyle AM=2M{A}_1.}$ Через точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle C_1}$ провели плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ перпендикулярно грани ${\displaystyle AB{B}_1{A}_1.}$ 

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ делит ребро ${\displaystyle A_1{B}_1}$ пополам.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы ${\displaystyle ABC{A}_1{B}_1{C}_1}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$ равна ${\displaystyle \sqrt{39}.}$ 

Найдите значение выражения ${\displaystyle \left(\sqrt{96}-\sqrt{24}\right)\cdot \sqrt{6}}$.

Решите неравенство ${\displaystyle 1+\frac{5}{{\log }_{4}x-3}+\frac{6}{{\log }_4^{2}x-{\log }_4\left(64x^6\right)+12}\ge 0}$.

Окружность с центром $O$ касается катетов $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ в точках $M$ и $E$ соответственно, а его гипотенузы $—$
в точке $K.$ Отрезок $EH$ $—$ перпендикуляр к прямой $MK.$

а) Докажите, что прямые $CH$ и $EK$ параллельны.

б) Найдите отношение $CH:EK,$ если $AC=12$ и $BC=5.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону ${\displaystyle m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}}$, где ${\displaystyle m_0}$ — начальная масса изотопа (в мг), ${\displaystyle \tau }$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, ${\displaystyle T}$ — период полураспада
в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

${\displaystyle T\left(t\right)=T_0+bt+a{t}^2\text{},}$

где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время (в мин.), ${\displaystyle T_0=1600\text{К}}$, ${\displaystyle a=-5\text{К}/{\text{мин}}^2\text{},}$ ${\displaystyle b=105\text{К}/\text{мин}}$. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону ${\displaystyle m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}}$, где ${\displaystyle m_0}$ ${\displaystyle —}$ начальная масса изотопа, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время, прошедшее от начального момента, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

$2{\cos }^{2}x+3\sin (x+\pi )-3=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi ;\frac{\text{7π}}{2}\right].$ 

а) Решите уравнение

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону ${\displaystyle \text{φ}=\text{ω}t+\frac{\text{β}{t}^2}{2}}$,
где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, ${\displaystyle \text{ω}=15\text{град}./\text{мин}}$ ${\displaystyle —}$ начальная угловая скорость вращения катушки,
а ${\displaystyle \text{β}=6\text{град}./{\text{мин}}^2}$ ${\displaystyle —}$ угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки ${\displaystyle \text{φ}}$ достиг ${\displaystyle 2250°}$. Ответ дайте в минутах.

Найдите точку минимума функции $y=x^3-192x+11.$

Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,4. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Помещение освещается фонарём с четырьмя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит .

$2{\sin }^{2}x+\cos \left(-x\right)-1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\text{9π}}{2};-3\text{π}\right].$

а) Решите уравнение

Найдите точку минимума функции .

На рисунке изображены графики функций ${\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=kx,}$ пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Найдите абсциссу точки ${\displaystyle B.}$ 

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха при давлении
$p_1=\mathrm{1,4}$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ 
(в атмосферах). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\text{α}=\mathrm{10,9}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 29 430 Дж. Ответ дайте в атмосферах.