На рисунке изображены графики функций видов $f\left(x\right)=\frac{k}{x}$ и $g\left(x\right)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный
треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$ 
в отношении $AP:PB=1:\mathrm{3,}$ а точка $Q$ $—$ середина ребра $A_1{C}_1.$ 
Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha ,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB.$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ,$ считая от точки $P,$ если известно, что $AB=A{A}_1,$ $AB:BC=2:5.$

Окружность с центром в точке ${\displaystyle O}$ касается сторон угла с вершиной ${\displaystyle N}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Отрезок ${\displaystyle BC}$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle ANB=2\angle ABC.}$ 

б) Найдите расстояние от точки ${\displaystyle N}$ до прямой ${\displaystyle AB,}$ если известно, что ${\displaystyle AC=14}$ и ${\displaystyle AB=36.}$ 

Найдите наибольшее значение функции $y=7+12x-4x\sqrt{x}$ на отрезке $\left[0;12\right].$

На рисунке изображены графики функций ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=ax+b,}$ пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Найдите абсциссу точки ${\displaystyle B.}$ 

Найдите точку максимума функции $y=4+27x-x^{\frac{3}{2}}.$

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\displaystyle v_0=60\text{км/ч}}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ${\displaystyle a=32{\text{км/ч}}^2}$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле ${\displaystyle S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}}$, где ${\displaystyle t}$ — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 154 км. Ответ дайте в минутах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону ${\displaystyle H\left(t\right)=a{t}^2+bt+H_0}$, где ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle —}$ высота столба воды в метрах, ${\displaystyle H_0=8\text{м}}$ ${\displaystyle —}$ начальный уровень воды, ${\displaystyle a=\frac{1}{72}\text{м}/{\text{мин}}^2}$ 
и ${\displaystyle b=-\frac{2}{3}\text{м}/\text{мин}}$ ${\displaystyle —}$ постоянные, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N,$ причём $AM:MC=1:\mathrm{2,}$ $BN:ND=1:3.$

а) Докажите, что $\cos \angle BAD=\frac{1}{5}$.

б) Найдите площадь ромба, если $MN=5.$

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

Найдите точку максимума функции $y=x^3-147x+19.$

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле $v=с\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0},$ 
где $c=1500\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорость звука в воде,  $—$ частота испускаемых импульсов (в МГц),  $—$ частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала,
если скорость погружения батискафа равна 5 м/с. Ответ дайте в МГц.

Заказ на изготовление 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 2 детали больше?

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3\left(\left(2-x\right)\left(x^2+5\right)\right)\ge {\log }_3\left(x^2-5x+6\right)+{\log }_3\left(4-x\right)}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB=1.$ Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\text{α}\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ проходит через вершины $B$ и $D.$

б) В каком отношении плоскость $\text{α}$ делит ребро $SC\text{},$ считая от вершины $S,$ если площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{3}?$

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора ${\displaystyle C=5\cdot {10}^{-6}\text{Ф}\text{.}}$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением ${\displaystyle R=3\cdot {10}^6\text{Ом}\text{.}}$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе ${\displaystyle U_0=32\text{кВ}\text{.}}$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения  (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением ${\displaystyle t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}}$, где ${\displaystyle \alpha =\mathrm{1,5}}$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло
90 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

В прямоугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — середины гипотенузы ${\displaystyle AB}$ и катета ${\displaystyle BC}$ соответственно, точка ${\displaystyle K}$ отмечена на катете ${\displaystyle BC}$ так, что ${\displaystyle CK:KB=1:3.}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle AN=2KM.}$ 

б) Пусть ${\displaystyle P}$ — точка пересечения отрезков ${\displaystyle AN}$ и ${\displaystyle KM}$. Найдите длину отрезка прямой ${\displaystyle BP,}$ заключённого внутри треугольника ${\displaystyle ABC,}$ если ${\displaystyle AC=\mathrm{6,}}$ ${\displaystyle BC=8.}$ 

Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Настя $—$ за 42 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?

Юля и Уля, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Уля $—$ за 120 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Юля?