Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=9000\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите,
сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится
до скорости 120 км/ч.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,07. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=\frac{k}{x}$. Найдите
значение $f\left(10\right)$.

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.

Моторная лодка прошла против течения реки 48 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида ${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c.}$ Найдите значение ${\displaystyle f\left(-2\right).}$ 

Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины  и  равнобедренного прямоугольного треугольника  с прямым углом  лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая  вторично пересекает бо́льшую окружность в точке , а прямая  вторично пересекает меньшую окружность в точке .

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите , если радиусы окружностей равны 3 и 4.

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; — в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2580 тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года?

Найдите точку максимума функции $y=\ln \left(x-2\right)-5x+13.$

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=30°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=4\sqrt{3}}$.

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=a^x.$ Найдите
значение $f\left(-3\right).$

$\sin 2x-\sin \left(-x\right)+2\cos \left(-x\right)+1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\text{3π}}{2};\text{3π}\right].$

а) Решите уравнение

В прямоугольном параллелепипеде ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ известны длины рёбер: ${\displaystyle AB=2\sqrt{2}}$, ${\displaystyle AD=6}$, ${\displaystyle A{A}_1=10}$. На рёбрах ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$ отмечены точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно, причём ${\displaystyle A_{1}E:EA=3:2}$ и ${\displaystyle B_{1}F:FB=3:7}$. Точка ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через точку ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ${\displaystyle EFT}$.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,
а на окружности другого основания ${\displaystyle —}$ точка ${\displaystyle C_1}$, причём ${\displaystyle C{C}_1}$ ${\displaystyle —}$ образующая цилиндра, а ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle —}$ диаметр основания. Известно, что ${\displaystyle \angle ACB=30°}$, ${\displaystyle AB=1}$, ${\displaystyle C{C}_1=2\sqrt{2}}$.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\displaystyle A{C}_1}$ и ${\displaystyle BC}$ равен ${\displaystyle 60°}$.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

На рисунке изображены графики функций ${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=kx,}$ пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Найдите абсциссу точки ${\displaystyle B.}$ 

Решите неравенство

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_{11}\left(8x^2+7\right)-{\log }_{11}\left(x^2+x+1\right)\ge {\log }_{11}\left(\frac{x}{x+5}+7\right)}$.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону ${\displaystyle h\left(t\right)=\mathrm{1,6}+13t-5t^2}$, где ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle —}$ высота в метрах, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться
на высоте не менее 6 метров?

$2\sqrt{3}{\sin }^2\text{}\left(x+\frac{\text{3π}}{2}\right)+\sin 2x=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\text{π};-\frac{\text{5π}}{2}\right]$.

а) Решите уравнение