$\cos 2x+\sqrt{2}\cos \left(x+\pi \right)+1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\text{4π};-\frac{\text{5π}}{2}\right].$ 

а) Решите уравнение

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 285 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним со скоростью на 4 км/ч больше отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Первый насос наполняет бак за 11 минут, второй — за 15 минут, а третий — за 1 час 50 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{27}^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+\mathrm{60,5}}\ge 0.}$ 

На рисунке изображены графики функций видов $f\left(x\right)=\frac{k}{x}$ и $g\left(x\right)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

Найдите точку минимума функции $y=x^3-27x^2+17.$

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{x^2+4x-5}{{\log }_3\left(\mathrm{0,2}\cdot 5^x\right)}\ge 0.}$ 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,06. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Найдите точку минимума функции $y=x^3-300x+14.$

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)={\log }_{a}x.$ Найдите
значение $f\left(25\right).$

Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Основанием четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ является прямоугольник ${\displaystyle ABCD}$, причём ${\displaystyle AB=2\sqrt{2}}$, ${\displaystyle BC=4}$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ опущены перпендикуляры ${\displaystyle AP }$ и ${\displaystyle CQ}$ на ребро ${\displaystyle SB}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle —}$ середина отрезка ${\displaystyle BQ}$.

б) Найдите угол между гранями ${\displaystyle SBA}$ и ${\displaystyle SBC}$, если ${\displaystyle SD=4}$.

В прямоугольном параллелепипеде ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ известны длины рёбер: ${\displaystyle AB=6\sqrt{2}}$, ${\displaystyle AD=10}$, ${\displaystyle A{A}_1=16}$. На рёбрах ${\displaystyle A{A}_1}$ и ${\displaystyle B{B}_1}$ отмечены точки ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно, причём ${\displaystyle A_{1}E:EA=5:3}$ и ${\displaystyle B_{1}F:FB=5:11}$. Точка ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ середина ребра ${\displaystyle B_1{C}_1}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle EFT}$ проходит через точку ${\displaystyle D_1}$.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ${\displaystyle EFT}$.

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=a\sqrt{x}.$ Найдите значение $f\left(36\right).$

В прямоугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точка ${\displaystyle M}$ лежит на катете ${\displaystyle AC}$, а точка ${\displaystyle N}$ лежит на продолжении катета ${\displaystyle BC}$ за точку ${\displaystyle C}$, причём ${\displaystyle CM=BC}$ и ${\displaystyle CN=AC}$.

а) Отрезки ${\displaystyle CP}$ и ${\displaystyle CQ}$ ${\displaystyle —}$ медианы треугольников ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle NCM}$ соответственно. Докажите, что прямые ${\displaystyle CP}$ и ${\displaystyle CQ}$ перпендикулярны.

б) Прямые ${\displaystyle MN}$ и ${\displaystyle AB}$ пересекаются в точке ${\displaystyle K}$, а прямые ${\displaystyle BM}$ и ${\displaystyle AN}$ ${\displaystyle —}$ 
в точке ${\displaystyle L}$. Найдите ${\displaystyle KL}$, если ${\displaystyle BC=1}$, а ${\displaystyle AC=5}$.

Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 140 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды ${\displaystyle SABCD}$ с основанием ${\displaystyle ABCD}$ равны 4. Точка ${\displaystyle O}$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой ${\displaystyle SA}$ и проходящая через точку ${\displaystyle O,}$ пересекает рёбра ${\displaystyle SC}$ и ${\displaystyle SD}$ в точках ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно. Точка ${\displaystyle N}$ делит ребро ${\displaystyle SD}$ в отношении ${\displaystyle SN:ND=1:3.}$ 

а) Докажите, что точка ${\displaystyle M}$ — середина ребра ${\displaystyle SC.}$ 

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость ${\displaystyle OMN}$ пересекает грань ${\displaystyle SBC.}$ 

Автомобиль, движущийся со скоростью ${\displaystyle v_0=15\text{м/с}\text{,}}$ начал торможение с постоянным ускорением ${\displaystyle a=2{\text{м/с}}^2\text{}.}$ За ${\displaystyle t}$ секунд после начала торможения он прошёл путь ${\displaystyle S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей
на ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ месяц. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по ${\displaystyle n}$ -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ 15-го числа ${\displaystyle n}$ -го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

${\displaystyle —}$ к 15-му числу ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите ${\displaystyle n}$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.