Два велосипедиста одновременно отправились в 80-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 9».

Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Найдите значение выражения ${\displaystyle \frac{{81}^{\mathrm{2,6}}}{9^{\mathrm{3,7}}}}$.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,93. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

${\displaystyle y=9x-9\ln \left(x+11\right)+7}$

на отрезке ${\displaystyle \left[-\mathrm{10,5};0\right]}$.

Найдите наименьшее значение функции

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=120°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=6\sqrt{3}}$.

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство ${\displaystyle x}$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны ${\displaystyle \left(\mathrm{0,5}{x}^2\text{}+2x+6\right)}$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене ${\displaystyle p}$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн  рублей) за один год составит ${\displaystyle px-\left(\mathrm{0,5}{x}^2\text{}+2x+6\right)}$. Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении ${\displaystyle p}$ строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

Плоскость $\text{α}$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K.$ Сечение пирамиды плоскостью $\text{α}$ является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}.$а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ перпендикулярна прямой $AC.$

б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA,$ считая от точки $S,$ если объём пирамиды равен $18\sqrt{3}?$

на отрезке .

Найдите наменьшее значение функции

$\sqrt{3}{\mathrm{tg}}^2\text{}x-4\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\text{π};\frac{5\text{π}}{2}\right]$.

а) Решите уравнение

Два велосипедиста одновременно отправились в 144-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 8 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций видов $f\left(x\right)=\frac{k}{x}$ и $g\left(x\right)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$

Найдите значение выражения ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{36}\cdot \sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}}$.

Найдите точку максимума функции ${\displaystyle y=\mathrm{0,5}{x}^2-21x+110\cdot \ln x+43}$.

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет
в размере ${\displaystyle S}$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным ${\displaystyle S}$ тыс. рублей;

— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей; — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет.

На рисунке изображён график функции вида ${\displaystyle f\left(x\right)=a^x\text{}.}$ Найдите значение ${\displaystyle f\left(4\right).}$ 

а) Решите уравнение $4\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+2\sqrt{2}\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=\sqrt{6}.$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[4\pi ;\frac{11\pi }{2}\right].$

Два велосипедиста одновременно отправились в 112-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295\text{Гц}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит
от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f\left(v\right)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц),
где $c$ $—$ скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите,
с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз,
если человек смог различить сигналы, а $c=300\text{м/с}\text{.}$ Ответ дайте в $\text{м/с}\text{.}$