В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ лежат на первой окружности, точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle —}$ на второй. При этом ${\displaystyle AC}$ 
и ${\displaystyle BD}$ ${\displaystyle —}$ общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$.

${\displaystyle y=\frac{\left(\mathrm{0,25}{x}^2+\mathrm{0,5}x\right)\cdot \left|x\right|}{x+2}}$.

Определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ не имеет с графиком
ни одной общей точки.

Постройте график функции

${\displaystyle y=\left|x^2-x-2\right|}$.

Постройте график функции Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

${\displaystyle y=x\left|x\right|-\left|x\right|-6x}$.

Определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Постройте график функции

Боковые стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$ равны соответственно 24 и 25,
а основание ${\displaystyle BC}$ равно 9. Биссектриса угла ${\displaystyle ADC}$ проходит через середину стороны ${\displaystyle AB}$. Найдите площадь трапеции.

${\displaystyle y=\{\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}{x}^2+2\\ -\frac{6}{x}\end{array}& \begin{array}{l}\text{при}\\ \text{при}\begin{array}{c}\\ \end{array}\end{array}& \begin{array}{l}x\ge -\mathrm{2,}\\ x<-2.\begin{array}{c}\\ \end{array}\end{array}\end{array}}$

Определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Постройте график функции

${\displaystyle y=\frac{9x+1}{9x^2+x}}$.

Определите, при каких значениях ${\displaystyle k}$ прямая ${\displaystyle y=kx}$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Постройте график функции

${\displaystyle y=3-\frac{x+5}{x^2+5x}}$.

Определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ не имеет с графиком общих точек.

Постройте график функции

Биссектрисы углов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle K}$. Найдите площадь параллелограмма, если ${\displaystyle BC=12}$, а расстояние от точки ${\displaystyle K}$ до стороны ${\displaystyle AB}$ равно 9.

Точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ лежат на стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины ${\displaystyle A}$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ и касающейся луча ${\displaystyle AB}$, если ${\displaystyle \cos \angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}}$.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основания ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ равны соответственно 49 и 21,
а сумма углов при основании ${\displaystyle AD}$ равна ${\displaystyle 90°}$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ и касающейся прямой ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AB=20}$.

${\displaystyle y=\{\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}{x}^2-6x+11\\ x+3\end{array}& \begin{array}{l}\text{при}\\ \text{при}\end{array}& \begin{array}{l}x\ge \mathrm{2,}\\ x<2.\end{array}\end{array}}$

Определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Постройте график функции

${\displaystyle y=\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+4\text{при}x\ge -\mathrm{4,}\\ -\frac{16}{x}\text{при}x<-4.\end{array}}$

и определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Постройте график функции

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ известны длины сторон ${\displaystyle AB=28}$, ${\displaystyle AC=56}$, точка ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$. Прямая ${\displaystyle BD}$, перпендикулярная прямой ${\displaystyle AO}$, пересекает сторону ${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle D}$.
Найдите ${\displaystyle CD}$.

Боковые стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$ равны соответственно 4 и 5,
а основание ${\displaystyle BC}$ равно 1. Биссектриса угла ${\displaystyle ADC}$ проходит через середину стороны ${\displaystyle AB}$. Найдите площадь трапеции.

Середина ${\displaystyle M}$ стороны ${\displaystyle AD}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ равноудалена от всех его вершин. Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle BC=14}$, а углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ четырёхугольника равны соответственно ${\displaystyle 110°}$ и ${\displaystyle 100°}$.

${\displaystyle y=\left|x^2+4x-5\right|}$.

Постройте график функции Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

${\displaystyle y=\{\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}{x}^2-10x+27\\ x\end{array}& \begin{array}{l}\text{при}\\ \text{при}\end{array}& \begin{array}{l}x\ge \mathrm{4,}\\ x<4.\end{array}\end{array}}$

Определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Постройте график функции

В параллелограмме ${\displaystyle ABCD}$ проведена диагональ ${\displaystyle AC}$. Точка ${\displaystyle O}$ является центром окружности, вписанной в треугольник ${\displaystyle ABC}$. Расстояния от точки ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle A}$ и прямых ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$.