а) Решите уравнение $2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-2\sqrt{3}\sin \left(\pi -x\right)=0.$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[7\pi ;\frac{17\pi }{2}\right].$

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ и пересекает продолжение
стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle K}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AE=AK}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle KE:BD}$, если ${\displaystyle \angle BAD=60°}$.

Найдите точку минимума функции $y=x^2-20x+48\ln x-97.$

Найдите , если  и .

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=a^x.$ Найдите
значение $f\left(2\right).$

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?

${\displaystyle {27}^x-28\cdot 3^{x+1}+3^{5-x}=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\sqrt{3};{\log }_{2}5\right]}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=8$ моль воздуха при давлении
$p_1=20$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 27 840 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.

Два тела, массой ${\displaystyle m=6\text{кг}}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью ${\displaystyle v=9\text{м}/\text{}\text{c}}$ под углом ${\displaystyle 2\text{α}}$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле ${\displaystyle Q=m{v}^2{\sin }^2\text{α}}$, где ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle —}$ масса (в кг), ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle —}$ скорость (в м/с). Найдите, под каким углом ${\displaystyle 2\text{α}}$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3.$ Окружность, вписанная
в треугольник $ABC,$ касается отрезка $MN$ в точке $L.$

а) Докажите, что $AB+BC=4AC.$

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC,$ если $ML=\frac{9}{5}\text{},$ $LN=3.$

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит
ребро $A_1{D}_1$ в отношении $A_{1}M:M{D}_1=1:\mathrm{2,}$ а точка $K$ $—$ середина ребра $D{D}_1.$

а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD.$

б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90°,$ $\angle ADC=60°.$

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ и пересекает сторону ${\displaystyle CD}$ 
в точках ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AE=AK}$.

б) Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle CE=10}$, ${\displaystyle DK=9}$ и ${\displaystyle \cos \angle BAD=\mathrm{0,2}}$.

$\sin 2x+2\sin \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)-1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\text{2π};\frac{\text{7π}}{2}\right].$

а) Решите уравнение

Решите неравенство ${\log }_{11}\left(2x^2+1\right)+{\log }_{11}\left(\frac{1}{32x}+1\right)\ge {\log }_{11}\left(\frac{x}{16}+1\right).$

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; — в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Найдите точку минимума функции $y=10x-\ln \left(x-5\right)+3.$

$—$ каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 30 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 2500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: Сколько тыс. рублей составит сумма всех платежей после полного погашения кредита?

Решите неравенство $\frac{4}{{\log }_{2}x}-{\log }_2\left(\frac{4}{x}\right)\le \frac{38}{{\log }_2{x}^2}.$

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ отметили точки $M$ и $K$ 
на рёбрах $A{A}_1$ и $A_1{B}_1$ соответственно. Известно, что $A_{1}M=2MA,$ $A_{1}K=K{B}_1.$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\text{α}$ перпендикулярно
грани $AB{B}_1{A}_1.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}$ проходит через вершину $C_1.$

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\text{α}\text{,}$ если все рёбра призмы равны $12.$